《直線的傾斜角和斜率》教學設計

　　三、教學目標

　　1.知識與技能：使學生理解傾斜角與斜率的概念，了解二者之間的關系，會求過已知兩點的直線的斜率;

　　2.過程與方法：通過對傾斜角與斜率的探討，培養學生轉化的思想，提高解決問題的能力;

　　3.情感、態度與價值觀：在探索傾斜角與斜率的關系過程中，明確傾斜角的變化對斜率的影響，并在其中體驗嚴謹的治學態度.

　　四、教學重點與難點

　　重點：傾斜角、斜率、過兩點的直線的斜率公式;

　　難點：斜率;

　　對難點的處理：先從簡單的過原點的直線入手，再分傾斜角為銳角、鈍角的情況去分析.

　　五、教學策略

　　對于“傾斜角與斜率”的教學，教師創設問題情境，學生在問題的激勵下主動探究，教學方法采用師生互動式;而“過兩點的直線的斜率公式”的教學則采用“學生探索、教師適時講解”的方法.

　　六、教學過程

　　(一)新知的引入：

　　在平面直角坐標系內，畫出幾條不同直線，誘導學生思考，有何不同?

　　從而進一步設計決定直線的位置有哪些條件呢?

　　(設計意圖：學生在教師“問題串”的引導下去思考，得出本章重要知識點)

　　(二)概念的講解：通過討論我們已經知道，決定直線的位置的條件是一個點與方向.那么如何刻劃直線的方向呢?學生肯定會想到角，也會想到用縱坐標的變化量與橫坐標的變化量的比值.這時就需要教師的適時點播—引出刻劃直線的方向的兩個量---直線的傾斜角和斜率.

　　一、直線的傾斜角與斜率

　　1. 傾斜角(

　　(1)傾斜角的定義：在平面直角坐標系中，直線與軸相交時，軸正向與直線向上方向之間所成的角;注：強調當直線與坐標軸軸平行時的傾斜角。

　　提問：傾斜角的范圍是什么?(讓學生自己去解決)

　　(2)傾斜角的范圍：.

　　日常生活中，我們用坡度來刻劃道路的“傾斜程度”，坡度即坡面的鉛直高度和水平長度的比;為了用坐標的方法刻劃直線的傾斜角，引入直線的斜率概念(也可以從一次函數的解析式引入，其中的K就是斜率.)

　　2.斜率讓學生任畫一條直線，類比坡度的方法，用坐標的方法刻劃“直線的坡度”-斜率;

　　(強調若直線傾斜角相等，則斜率也相等)

　　教師定義:當橫坐標從增加到時，縱坐標從增加到稱為直線的斜率;

　　提問：由此定義，你能發現斜率的其他形式的定義嗎?

　　再問：若傾斜角為銳角，求斜率的取值范圍;若傾斜角在銳角內變化，斜率如何變化?

　　(三)例題的講解(7分鐘)

　　例1：求下列直線的斜率：

　　(1) y=x (2)y=1 (3)x=0.

　　(四)課堂練習

　　(五)本節課小結

　　八、設計反思

　　在平面解析幾何《直線與方程》的教學中，教師應幫助學生經歷如下的過程：首先將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題;處理代數問題;分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿《直線與方程》一章教學的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法。

　　《直線的傾斜角和斜率》說課稿

　　我說的課是高中第二冊(上)第七章直線和圓的方程第一大節直線的傾斜角和斜率的第一節課。

　　一、關于教學目標的確定

　　1、 教材的地位及作用

　　直線和圓的方程屬于解析幾何學的基礎知識，直線的方程是研究兩條直線位置關系的基礎，同時也是討論圓的方程及其它圓錐曲線方程的基礎。為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念。而作為直線方程的一個簡單應用，介紹了簡單的線性規劃問題。故本節課是學好這一章內容的關鍵。

　　2、 教學目的的認識

　　依據教學大綱的目的和要求規定及新課程標準要求，并結合學生的認知基礎，我認為本節課的教學目標：

　　(1)知識目標：了解“直線的方程”和“方程的直線”的概念;理解直線的傾斜角和斜率的定義;掌握斜率公式，并會求直線的傾斜角和斜率。

　　(2)能力目標：通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，以提高學生分析、比較、概括、化歸的數學能力,使學生初步了解用代數方程研究幾何問題的思路，培養學生綜合運用知識解決問題的能力。

　　(3)情感目標：幫助學生進一步了解分類思想、數形結合思想，在教學中充分揭示“數”與“形”的內在聯系，體現數、形的統一美，激發學生學習數學的興趣，對學生進行對立統一的辯證唯物主義觀點的教育，培養學生勇于探索、勇于創新的精神。

　　二、重點、難點分析

　　1、本節的重點是直線的傾斜角和斜率概念，及斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵。

　　2、本節的難點是對“直線的方程”和“方程的直線”的概念以及對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切這兩個問題卻并不容易接受。

　　三、教法、學法指導

　　1、學法輔導：

　　(1)學情介紹：

　　本課的教學對象是高二年學生，考慮到我校學生的數學基礎較好，思維較為活躍，并針對本節課的教學任務，在教學中我通過創設問題情境。

　　(2)本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義?為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立?相應的教學過程也有三個階段：

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢?學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。

　　②本節的難點是對斜率概念的理解與過兩點的直線的斜率公式的建立。學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣。學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎?再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率?要解決這些問題，可引導學生聯想工程問題中的“坡度”問題，以及三角函數的定義。

　　(3)學生在學習過程中，要學會展開思維，教師的啟發、激勵，有利于思維的進行;問題情景的創設有利于思維的活躍。但教學是雙邊的活動，教師要注意觀察學生是否動起來，予以情緒調控，使學生有意識地開動腦筋，主動投入。

　　2、教法方法：

　　斯托利亞爾指出“數學教學是教學活動(思維活動)的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學”。本節內容在教學中宜采用啟發式，設計為啟發、引導、探究、歸納、總結的教學模式。傾斜角如何定義?為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立?這三項教學任務都是在討論、交流、歸納中完成的。在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展。教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，歸納總結。把教學內容以問題的形式呈現給學生，以便引起學生進行反思，從而形成必要的認知沖突，最終達到建構新的認知結構。

　　四、教學手段

　　本節課，除使用常規的教學手段外，我還使用多媒體課件輔助教學。把教學設計的步驟及內容制成課件，利于突破重點、難點，還能節省時間，擴大教學內容，加快教學節奏，體現教改的新理念。

　　五、關于教學程序的設計

　　(一)知識導入階段

　　利用多媒體展示ssbezier變形曲線及笛卡兒簡介，目的是讓學生了解數學的發展史，及坐標法對數學發展起了巨大作用。

　　(二)知識探索階段

　　(創設問題情景，展現概念形成過程)

　　1、直線的方程與方程的直線的定義

　　【問題1】有了“一次函數的圖象”，為什么還要講“方程的直線”?

　　一次函數的圖象是一條直線，它能表示平面上的所有的直線?不能，因為一次函數的圖象，與坐標平面上的直線的對應，是一種不完美的對應。坐標平面上，有些直線不能用一次函數表示。(如x=2)那么該怎樣修補?

　　(方程的解 坐標 直線的點，直線 方程)

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點,反過來,這條直線上點的坐標都是這個方程的解,這時,這個方程就叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個方程的直線。

　　2、直線傾斜角定義

　　【問題2】如何確定一條直線?

　　兩點確定一條直線.還有其他方法嗎?或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件?

　　學生：思考，回憶，回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度。

　　(動畫演示)展示直線的傾斜度的變化情況。

　　【問題3】在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢?

　　討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢?它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的。

　　學生：展開討論，學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導。

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可(開始時可能有學生認為有四個角或兩個角)，當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念。

　　定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為 ，那么 就叫做直線 的傾斜角。

　　特別地，當 與x軸平行或重合時，規定傾斜角為0°。

　　由此定義，角的范圍如何? 0°≤α<180°或0≤α<π

　　(教師強調三點：(1)直線的方向向上(2) 軸的正方向，(3)最小正角)

　　3、 直線斜率的定義

　　用傾斜角刻畫直線的方向，乃是幾何問題，如何把直線方向量化?

　　【問題4】為什么要用傾斜角的正切定義斜率?而不用正弦、余弦或余切哪?

　　可聯想到工程問題中的“坡度”，及三角函數的定義。

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。記作 ，即 。

　　(動畫演示揭示直線傾斜角與斜率的對應關系)強調 定義域與值域的對應關系，及函數的單調性。

　　4、 直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題5】如果給定直線的傾斜角 ，我們當然可以根據斜率的定義 =tanα求出直線的斜率;如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢?

　　即已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直線P1P2的斜率。

　　思路分析：首先由學生提出思路，教師啟發、引導，運用正切定義，解決問題。

　　; x1= x2?

　　說明：(1)公式適用范圍：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸。因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角。

　　(2)公式與P1 和P2的順序無關，但要注意下標的對應關系。

　　(三)知識應用階段

　　我設計了二道例題例1是道斜率與傾斜角概念的辨析題，而例2是課本的例題已知直線的傾斜角求斜率，還設計兩道變式題，目的是培養學生的發散思維能力，討論傾斜角變化：銳角—鈍角—抽象角，對斜率的影響，加深同學對斜率與傾斜角對應關系的理解。

　　例1：關于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的： (1)任一條直線都有傾斜角，也都有斜率 ( ) (2)直線的傾斜角越大，它的斜率就越大; ( ) (3)平行于x軸的直線的傾斜角是 ; ( ) (4)兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等; ( ) (5)直線斜率的范圍是(-∞，+∞) ; ( ) (6)直線的斜率為tan ,則直線的傾斜角為 ; ( ) 說明：①當直線和x軸平行或重合時，我們規定直線的傾斜角為0°;②直線傾斜角的取值范圍是[ ;③傾斜角是90°的直線沒有斜率.。④坐標平面內，每一條直線都有唯一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。 例2： 如圖，直線 的傾斜角 =30°，直線 ⊥ ，求 、 的斜率。 分析：對于直線 的斜率，可通過計算 直接獲得，而直線 的斜率則需要先求出傾斜角 ，而根據平面幾何知識， ，然后再求 即可。

　　解： 的斜率 =tan=tan30°= ，

　　∵ 的傾斜角 =90°+30°=120°，

　　∴ 的斜率 =tan120°=tan(180°-60°)

　　=-tan60°= 。

　　評述：此題要求學生掌握已知直線的傾斜角求斜率，其中涉及到三角函數的誘導公式及特殊角正切值的確定。

　　【變式1】直線 的傾斜角 =150°，直線 ⊥ ，求 的斜率。

　　【變式2】已知直線 的傾斜角 ，直線 ⊥ ，求 的斜率及傾斜角。

　　(四)在學習小結階段：帶領學生對所學的知識和方法進行梳理，本節須掌握三個概念：直線方程、傾斜角和斜率;兩個關系：直線的方程與方程的直線、斜率與傾斜角;兩個問題：求傾斜角問題，求斜率問題。

　　(五)知識延伸拓展階段：

　　在知識延伸拓展階段，編制了三道思考題，在于拓寬學生的視野，斜率是聯結數與形的紐帶。體現了分層教學的思想，達到因材施教的目的。

　　看了“直線的傾斜角和斜率教學設計”