高一數學函數知識點
2、函數定義域的解題思路:
⑴ 若x處于分母位置,則分母x不能為0。
⑵ 偶次方根的被開方數不小于0。
⑶ 對數式的真數必須大于0。
⑷ 指數對數式的底,不得為1,且必須大于0。
⑸ 指數為0時,底數不得為0。
⑹ 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的,那么,它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。
⑺ 實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。
3、相同函數
⑴ 表達式相同:與表示自變量和函數值的字母無關。
⑵ 定義域一致,對應法則一致。
4、函數值域的求法
⑴ 觀察法:適用于初等函數及一些簡單的由初等函數通過四則運算得到的函數。
⑵ 圖像法:適用于易于畫出函數圖像的函數已經分段函數。
⑶ 配方法:主要用于二次函數,配方成 y=(x-a)2+b 的形式。
⑷ 代換法:主要用于由已知值域的函數推測未知函數的值域。
5、函數圖像的變換
⑴ 平移變換:在x軸上的變換在x上就行加減,在y軸上的變換在y上進行加減。
⑵ 伸縮變換:在x前加上系數。
⑶ 對稱變換:高中階段不作要求。
6、映射:設A、B是兩個非空集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于A中的任意儀的元素x,在集合B中都有唯一的確定的y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的映射。
⑴ 集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的。
⑵ 集合A中的不同元素,在集合B中對應的象可以是同一個。
⑶ 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
7、分段函數
⑴ 在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。
⑵ 各部分自變量和函數值的取值范圍不同。
⑶ 分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集。
8、復合函數:如果(u∈M),u=g(x) (x∈A),則,y=f[g(x)]=F(x) (x∈A),稱為f、g的復合函數。
高一數學函數的性質1、函數的局部性質——單調性
設函數y=f(x)的定義域為I,如果對應定義域I內的某個區間D內的任意兩個變量x1、x2,當x1< x2時,都有f(x1)<f(x2),那么y=f(x)在區間d上是增函數,d是函數y=f(x)的單調遞增區間;當x1< x2時,都有f(x1)="">f(x2),那么那么y=f(x)在區間D上是減函數,D是函數y=f(x)的單調遞減區間。
⑴函數區間單調性的判斷思路
ⅰ在給出區間內任取x1、x2,則x1、x2∈D,且x1< x2。
ⅱ 做差值f(x1)-f(x2),并進行變形和配方,變為易于判斷正負的形式。
ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號,指出單調性。
⑵復合函數的單調性
復合函數y=f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律為“同增異減”;多個函數的復合函數,根據原則“減偶則增,減奇則減”。
⑶注意事項
函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成并集,如果函數在區間A和B上都遞增,則表示為f(x)的單調遞增區間為A和B,不能表示為A∪B。
2、函數的整體性質——奇偶性
對于函數f(x)定義域內的任意一個x,都有f(x) =f(-x),則f(x)就為偶函數;
對于函數f(x)定義域內的任意一個x,都有f(x) =-f(x),則f(x)就為奇函數。
⑴奇函數和偶函數的性質
ⅰ無論函數是奇函數還是偶函數,只要函數具有奇偶性,該函數的定義域一定關于原點對稱。
ⅱ奇函數的圖像關于原點對稱,偶函數的圖像關于y軸對稱。
⑵函數奇偶性判斷思路
ⅰ先確定函數的定義域是否關于原點對稱,若不關于原點對稱,則為非奇非偶函數。
ⅱ確定f(x) 和f(-x)的關系:
若f(x) -f(-x)=0,或f(x) /f(-x)=1,則函數為偶函數;
若f(x)+f(-x)=0,或f(x)/ f(-x)=-1,則函數為奇函數。
3、函數的最值問題
⑴對于二次函數,利用配方法,將函數化為y=(x-a)2+b的形式,得出函數的最大值或最小值。
⑵對于易于畫出函數圖像的函數,畫出圖像,從圖像中觀察最值。
⑶關于二次函數在閉區間的最值問題
ⅰ判斷二次函數的頂點是否在所求區間內,若在區間內,則接ⅱ,若不在區間內,則接ⅲ。
ⅱ 若二次函數的頂點在所求區間內,則在二次函數y=ax2+bx+c中,a>0時,頂點為最小值,a<0時頂點為最大值;后判斷區間的兩端點距離頂點的遠近,離頂點遠的端點的函數值,即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。
ⅲ 若二次函數的頂點不在所求區間內,則判斷函數在該區間的單調性
若函數在[a,b]上遞增,則最小值為f(a),最大值為f(b);
若函數在[a,b]上遞減,則最小值為f(b),最大值為f(a)。
高一數學基本初等函數
1、指數函數:函數y=ax (a>0且a≠1)叫做指數函數
| a 的取值 | a>1 | 0<a<1 | 
| 定義域 | x∈R | x∈R | 
| 值域 | y∈(0,+∞) | y∈(0,+∞) | 
| 單調性 | 全定義域單調遞增 | 全定義域單調遞減 | 
| 奇偶性 | 非奇非偶函數 | 非奇非偶函數 | 
| 過定點 | (0,1) | (0,1) | 
注意:⑴由函數的單調性可以看出,在閉區間[a,b]上,指數函數的最值為:
a>1時,最小值f(a),最大值f(b);0<a<1時,最小值f(b),最大值f(a)。< p="">
⑵ 對于任意指數函數y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。
2、對數函數:函數y=logax(a>0且a≠1)),叫做對數函數
| a 的取值 | a>1 | 0<a<1 | 
| 定義域 | x∈(0,+∞) | x∈(0,+∞) | 
| 值域 | y∈R | y∈R | 
| 單調性 | 全定義域單調遞 | 全定義域單調遞減 | 
| 奇偶性 | 非奇非偶函數 | 非奇非偶函數 | 
| 過定點 | (1,0) | (1,0) | 
3、冪函數:函數y=xa(a∈R),高中階段,冪函數只研究第I象限的情況。
⑴所有冪函數都在(0,+∞)區間內有定義,而且過定點(1,1)。
⑵a>0時,冪函數圖像過原點,且在(0,+∞)區間為增函數,a越大,圖像坡度越大。
⑶a<0時,冪函數在(0,+∞)區間為減函數。
當x從右側無限接近原點時,圖像無限接近y軸正半軸;
當y無限接近正無窮時,圖像無限接近x軸正半軸。
4、反函數:將原函數y=f(x)的x和y互換即得其反函數x=f-1(y)。
反函數圖像與原函數圖像關于直線y=x對稱。
高一數學學習什么
高一上學期有的地方是學習必修一和必修四,必修一的主要內容是《集合》、《函數》,必修四的主要內容是《三角函數》、《向量》。但是有些地方是學習必修一和必修二,必修二的主要內容是《立體幾何》,簡單的《解析幾何》。如初中所學習的直線方程,園的方程以及他們的一些性質關系等。
在高一上學期,必修一是一定要學的,函數這一章一定要學好,它包括函數的概念,圖像,性質以及一些基本函數,如二次函數,指數函數,對數函數,冪函數等。
必修三中的內容要簡單一些,包括《統計初步》、《算法》、《概率》。除 了算法外,其他內容我們在初中都已經接觸過。
到了高二要學習必修五,主要內容是《數列》,《不等式》等,對于我們在高一學習的解析幾何,到了高二還要學《圓錐曲線》等。當然,函數與導數,參數方程與極坐標也應該是高二學習的內容。地方不同,還有些選學的內容也不同。
高一數學怎么學首先,在課堂教學中培養好的聽課習慣是很重要的。當然聽是主要的,聽能使注意力集中,要把老師講的關鍵性部分聽懂、聽會。聽的時候注意思考、分析問題,但是光聽不記,或光記不聽必然顧此失彼,課堂效益低下,因此應適當地有目的性的記好筆記,領會課上老師的主要精神與意圖。科學的記筆記可以提高4 5 分鐘課堂效益。
其次,要提高數學能力,當然是通過課堂來提高,要充分利用好課堂這塊陣地,學習數學的過程是活的,老師教學的對象也是活的,都在隨著教學過程的發展而變化,尤其是當老師注重能力教學的時候,教材是反映不出來的。數學能力是隨著知識的發生而同時形成的,無論是形成一個概念,掌握一條法則,會做一個習題,都應該從不同的能力角度來培養和提高。 課堂上通過老師的教學,理解所學內容在教材中的地位,弄清與前后知識的聯系等,只有把握住教材,才能掌握學習的主動。
再次,如果數學課沒有一定的速度,那是一種無效學習。慢騰騰的學習是訓練不出思維速度,訓練不出思維的敏捷性,是培養不出數學能力的,這就要求在數學學習中一定要有節奏,這樣久而久之,思維的敏捷性和數學能力會逐步提高。
最后,在數學課堂中,老師一般少不了提問與板演,有時還伴隨 著問題討論,因此可以聽到許多的信息,這些問題是很有價值的。對于那些典型問題,帶有普遍性的問題都必須及時解決,不能把問題的結癥遺留下來,甚至沉淀下來,有價值的問題要及時抓住,遺留問題要有針對性地補,注重實效。
