數列問題

　　數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎。高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏。有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現。本章中還蘊含著豐富的數學思想，在主觀題中著重考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學方法。

　　近幾年來，高考關于數列方面的命題主要有以下三個方面;(1)數列本身的有關知識，其中有等差數列與等比數列的概念、性質、通項公式及求和公式。(2)數列與其它知識的結合，其中有數列與函數、方程、不等式、三角、幾何的結合。(3)數列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數列與幾何的綜合與函數、不等式的綜合作為最后一題難度較大。

　　知識整合

　　1. 在掌握等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題;

　　2. 在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的認識，溝通各類知識的聯系，形成更完整的知識網絡，提高分析問題和解決問題的能力，

　　進一步培養學生閱讀理解和創新能力，綜合運用數學思想方法分析問題與解決問題的能力。

　　3. 培養學生善于分析題意，富于聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的精神和科學理性的思維方法。

　　數列解題方法剖析

　　一、基礎知識

　　數列：

　　1.數列、項的概念：按一定排列的一列數，叫做的項

　　2.數列的表示：一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，(…)an是

　　該數列的第 n 項，列表法、 圖象法、 符號法、 列舉法、 解析法、 公式法(通項公式、遞推公式、求和公式)都是表示數列的方法. 3.數列的一般性質 .

　　4.數列的分類：

　?、侔错椀臄盗糠郑?有窮數列 、 無窮數列 ;

　?、诎聪噜忢椀拇笮￡P系分：遞增數列 、遞減數列 、常數列、擺動數列 、其他; ③按項的變化規律分：等差數列、等比數列、其他;

　　④按項的變化范圍分：有界數列、無界數列.

　　5.數列的通項公式：{an}

　　6.數列的遞推公式：如果已知數列{an}的第一項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項

　　an-1(或前幾項an-1，an-2，…?1)(n=2，3，…) (或 ?1n?2)(n=3，4，5，…)，…)來表示，那么這個公式叫做這個數列的 遞推公式 .

　　7.數列的前：Sn

　　8.通項公式與求和公式的關系：

　　通項公式an與求和公式Sn的關系可表示為：an???S1(n?1)

　　?Sn?Sn?1(n?2)

　　1

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　　2

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　　數列求和的常用方法：

　　1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特殊數列求和。 2、錯位相減法：適用于差比數列(如果?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比

　　數列)

　　即把每一項都乘以?bn?的公比q，向后錯一項，再對應同次項相減，

　　轉化為等比數列求和。

　　3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。

　　??1?? 適用于數列?和(其中?an?等差) ??an?

　　an?1?

　　11111?(?)?

　　an?an?1danan?1d

　　數列通項的求法：

　?、殴椒ǎ孩俚炔顢盗型椆?②等比數列通項公式。 ⑵已知Sn(即a1?a2?

　　S,(n?1)

　　?an?f(n))求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。

　　nn?1

　　?

　　f(1),(n?1)??f(n)

　　已知a1a2。 an?f(n)求an，用作商法：an??

　　,(n?2)

　　??f(n?1)

　?、且阎獥l件中既有Sn還有an，有時先求Sn，再求an;有時也可直接求an。

　?、热鬭n?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?

　　?(a2?a1)

　　?a1(n?2)。

　　aaa⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1?

　　anan?1an?2

　　?

　　a2

　　?a1(n?2)。 a1

　　⑹已知遞推關系求an，用構造法(構造等差、等比數列)。

　　特別地，(1)形如an?kan?1?b、an?kan?1?b(k,b為常數)的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an;形如an?kan?1?k的遞推數列都可以除以k得到一個等差數列后，再求an。

　　(2)形如an?

　　n

　　n

　　n

　　an?1

　　的遞推數列都可以用倒數法求通項。

　　kan?1?b

　　3

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　　(3)形如an?1?ank的遞推數列都可以用對數法求通項。

　　(7)(理科)數學歸納法。

　　(8)當遇到an?1?an?1?d或an?1?q時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段an?1

　　形式。

　　數列求和的常用方法：

　　(1)公式法：①等差數列求和公式;②等比數列求和公式。

　　(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。

　　(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和(這也是等差數列前n和公式的推導方法).

　　(4)錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數列前n和公式的推導方法).

　　(5)裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有： ??; ②?(?);

　　1? ; d

　　11111?(?)(放縮法)④2?2;

　　kk?12k?1k?1

　　???(放縮法)⑤?; ①

　　二、解題方法：

　　求數列通項公式的常用方法：

　　1、公式法

　　2、由Sn求an

　　(n?1時，a1?S1，n?2時，an?Sn?Sn?1)

　　3、求差(商)法

　　111a1?2a2????nan?2n?5222

　　1 解：n?1時，a1?2?1?5，∴a1?14 2

　　111 n?2時，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?5222

　　1 ?1???2?得：nan?2 2 如：?an?滿足

　　∴an?2

　　n?1?1? ?2? 4

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　　∴an??

　　[練習] ?14(n?1)?2n?1(n?2)

　　數列?an?滿足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an 3

　　(注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1?4 Sn

　　又S1?4，∴?Sn?是等比數列，Sn?4n

　　n?2時，an?Sn?Sn?1????3?4n?1

　　4、疊乘法，題型：an+1=f(n)an

　　例如：數列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann?1

　　解：a2aaa12n?11?3??n????，∴n? a1a2an?123na1n

　　3 n 又a1?3，∴an?

　　5、等差型遞推公式(疊加法)，類型：an+1=an+f(n)

　　由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

　　n?2時，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?兩邊相加，得： ?????

　　an?an?1?f(n)??

　　an?a1?f(2)?f(3)????f(n)

　　∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)

　　[練習]

　　數列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an (an?1n3?1) 2??

　　6、等比型遞推公式

　　an?can?1?dc、d為常數，c?0，c?1，d?0 ?? 5

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　　可轉化為等比數列，設an?x?c?an?1?x?

　　?an?can?1??c?1?x

　　令(c?1)x?d，∴x?

　　∴?an?d c?1?

　　?d?d，c為公比的等比數列 ?是首項為a1?c?1?c?1

　　∴an?dd??n?1??a1??c c?1?c?1?

　　?

　　?d?n?1d ?c?c?1?c?1 ∴an??a1?

　　[練習]

　　數列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an

　　?4? (an?8????3?

　　7、倒數法 n?1?1)

　　例如：a1?1，an?1?2an，求an an?2

　　由已知得：1

　　an?1?an?211 ??2an2an

　　∴1

　　an?1?11? an2

　　???1?11 為等差數列，?1，公差為?aa21?n?

　　111?1??n?1????n?1? an22

　　2

　　n?1 ? ∴an?

　　數列前n項和的常用方法：

　　1、公式法：等差、等比前n項和公式

　　2、裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。 6

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　　如：?an?是公差為d的等差數列，求1 ?k?1akak?1n

　　解：由

　　n111?11???????d?0? ak?ak?1akak?dd?akak?1?n11?11? ∴?????? aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?

　　?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3??anan?1??

　　1?11?????d?a1an?1?

　　[練習]

　　求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n

　　1) n?1 (an??????，Sn?2?

　　3、錯位相減法：

　　若?an?為等差數列，?bn?為等比數列，求數列?anbn?(差比數列)前n項 和，可由Sn?qSn求Sn，其中q為?bn?的公比。

　　如：Sn?1?2x?3x?4x????nx23n?1?1?

　　?2? x?Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn

　　?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1時，Sn1?x?nx???nn

　　?1?x?21?x

　　x?1時，Sn?1?2?3????n?

　　練習：(選自年高考預測卷) n?n?1?2

　　?a?a?1,a2?a3?6. 18.(本小題滿分12分)各項均為正數的等比數列n中，1

　　(Ⅰ)求數列?an?通項公式;

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