高二上學期數學期中考試
以下是小編在期末之際為大家推薦有關高二數學的上學期期中測試題和部分解答題的答案，希望對大家的考試有所幫助!
高二上學期數學期中考試題
一、填空題(本題共14小題，每小題5分，合計70分。請把答案直接填寫在答題紙相應的位置上.)
1. 不等式3-xx-1>0的解集為____ ▲____.
2. 若命題“對 x∈R，x2+4cx+1>0”是假命題，則實數c的取值范圍是___ ▲_____.
3.從1、2、3、4中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這個兩位數大于20的概率為____ ▲____.
4. 某人5 次上學途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x,8,10,11,9.已知這組數據的平均數為10，則其方差為____ ▲____.
5.如果執行如圖所示的流程圖，那么輸出的S=___ ▲_____.
6.已知△ABC的三個內角A、B、C,“A>B”是“sinA>sinB”的_______ ▲________條件.(選填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
7.在區間[-5,5]內隨機地取出一個數a，則使得a∈{a|-a2+a+2>0}的概率為____ ▲____.
8. 已知橢圓x210-m+y2m-2=1，長軸在y軸上.若焦距為4，則m=___ ▲____.
9.已知變量x、y滿足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1，則 的最大值______ ▲_______.
10. 已知正數x，y滿足x+ty=1，t是給定的正實數.若1x+1y的最小值為16，則正實數t的值是 ▲ .
11.已知函數f(x)=21-x，x≤1，2-log2x，x>1，則滿足f(x)≥1的x的取值范圍是_______▲ _____.
12.已知橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過橢圓右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點，x軸一點M( ,0)，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于____▲ ____.
13. 不等式a2+8b2≥λb(a+b)對任意a、b∈R恒成立，則實數λ的取值范圍為______▲ ______.
14.設a=x2-xy+y2，b=pxy，c=x+y，若對任意的正實數x、y，都存在以a、b、c為三邊長的三角形，則實數p的取值范圍是____▲ ______.
二、解答題(本題共6小題，合計90分。請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15.(本小題14分)設p：實數x滿足x2-4ax+3a2<0，其中a>0，q：實數x滿足 .
(1) 若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍;
(2) 若 p是 q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.
16.(本小題14分).已知函數f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞).
(1) 當a=4時，求函數f(x)的最小值;
(2) 若對任意x∈[1，4]，f(x)>6恒成立，試求實數a的取值范圍.
17.(本小題14分)從參加高二年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：
(1) 求分數在[70,80)內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖;
(2)根據上面補充完整的頻率分布直方圖估計出本次考試的平均分;
(3) 用分層抽樣的方法在分數段為[40,60)的學生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人在分數段[50,60)的概率.
18.(本小題16分) 如圖，在直角坐標系xOy中，設橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右兩個焦點分別為F1、F2. 過右焦點F2且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個交點為M(2，1).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 設橢圓C的一個頂點為B(0，-b)，直線BF2交橢圓C于另一點N，求△F1BN的面積.
19.(本小題16分)某市出租汽車的收費標準如下：在3km以內(含3km)的路程統一按起步價7元收費，超過3km以外的路程按2.4元/km收費. 而出租汽車一次載客的運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用約為2.3元;二是燃油費，約為1.6元/km;三是折舊費，它與路程的平方近似成正比，且當路程為100km時，折舊費約為0.1元. 現設一次載客的路程為xkm.
(1) 試將出租汽車一次載客的收費F與成本C分別表示為x的函數;
(2) 若一次載客的路程不少于2km，則當x取何值時，該市出租汽車一次載客每km的收益y取得最大值?
20.(本小題16分)設A1、A2與B分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點與上頂點，直線A2B與圓C：x2+y2=1相切.
(1) 求證：1a2+1b2=1;
(2) P是橢圓E上異于A1、A2的一點，直線PA1、PA2的斜率之積為-13，求橢圓E的方程;
(3) 直線l與橢圓E交于M、N兩點，且OM→•ON→=0，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由.
高二上學期數學期中考試部分答案
二、解答題(本題共6小題，合計90分。請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15.(本小題14分)解：(1) 由x2-4ax+3a2<0，得(x-3a)(x-a)<0.又a>0，
所以a
當a=1時，1
由 ，得2
即q為真時實數x的取值范圍是2
若p∧q為真，則p真且q真，…………………………………………………………………………………5分
所以實數x的取值范圍是2
(2) p是 q的充分不必要條件，即 p q，且 q p.
設A={x| p}，B={x| q}，則A B.
又A={x| p}={x|x≤a或x≥3a}, B={x| q}={x≤2或x>3}，則03，
所以實數a的取值范圍是1
16.(本小題14分) 解：(1) 由a=4，∴f(x)=x2+2x+4x=x+4x+2≥6，當x=2時，取得等號.
即當x=2時，f(x)min=6.………………………………………………………………………………6分
(沒有寫等號成立的條件扣2分，如用函數單調性需要證明)
(2) x∈[1，4]，x2+2x+ax>6恒成立，即x∈[1，4]，x2+2x+a>6x恒成立.
等價于a>-x2+4x，當x∈[1，4]時恒成立，
令g(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，x∈[1，4]，……………………………………………………………10分
∴a>g(x)max=g(2)=4，即.
∴a的取值范圍是a>4……………………………………………………………………………………14分
17.(本小題14分)解：(1) 分數在[70,80)內的頻率為
1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.
又0.310=0.03，補出的圖形如下圖所示.……………………………………………………………4分
(2) 平均分為：x -=45×0.1+55×0. 15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.答：估計這次考試的平均分是71分.………………………………………………………………………………………8分
(3) 由題意，[40,50)分數段的人數為0.10×60=6人;[50,60)分數段的人數為0.15×60=9人;
在[40,60)的學生中抽取一個容量為5的樣本，在[40,50)分數段抽取2人，分別記為m，n;[50,60)分數段抽取3人，分別記為a，b，c，
設從樣本中任取2人，至少有1人在分數段[50,60)為事件A，則基本事件空間包含的基本事件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、…、(b，c)共10種，則事件A包含的基本事件有(m，a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共9種，
所以P(A)= =0.9.……………………………………………………………………………………14分
18.(本小題16分)解：(1) 由橢圓定義可知|MF1|+|MF2|=2a. 由題意|MF2|=1，∴|MF1|=2a-1.又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1，a>0，∴a=2.又a2-b2=2，得b2=2.
∴橢圓C的方程為x24+y22=1.……………………………………………………………………………6分
(2) 直線BF2的方程為y=x-2.
由 y=x-2x24+y22=1)，得點N的縱坐標為23. ………………………………………………………10分
又|F1F2|=22，
∴S△F1BN=12×2+23×22=83……………………………………………………………………16分
(2) (本小題16分)解：(1) F(x)= ，
即F(x)= .…………………………………………………………………………2分
設折舊費z=kx2，將(100,0.1)代入，
得0.1=1002k 解得k=1105……………………………………………………………………4分
，所以C(x)=2.3+1.6x+1105x2.………………………………………………………………………………6分
(2) 由題意得y=4.7x-1105x-1.6， 2≤x≤30.8-2.5x+1105x， x>3，………………………………………………9分
①當x>3時，由基本不等式，得y≤0.8-225106=0.79(當且僅當x=500時取等號);………12分
②當2≤x≤3時，由y在[2,3]上單調遞減，
得ymax=4.72-2105-1.6=0.75-2105<0.79.……………………………………………………………15分
答： 該市出租汽車一次載客路程為500km時，每km的收益y取得最大值.…………………………16分
20.(本小題16分) (1) 證明：已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2與B分別為橢圓E的左右頂點與上頂點，所以A1(-a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直線A2B的方程是xa+yb=1.
因為A2B與圓C：x2+y2=1相切，所以11a2+1b2=1，
即1a2+1b2=1.…………………………………………………………………………………………4分
(2) 解：設P(x0，y0)，則直線PA1、PA2的斜率之積為
kPA1•kPA2=y0x0+a•y0x0-a=y20x20-a2=-13?x20a2+3y20a2=1，而x20a2+y20b2=1，
所以b2=13a2.………………………………………………………………………………………8分
結合1a2+1b2=1，得a2=4，b2=43.
所以，橢圓E的方程為x24+3y24=1.………………………………………………………………10分
(3) 解：設點M(x1，y1)，N(x2，y2).
① 若直線l的斜率存在，設直線l為y=kx+m，
由y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得x2a2+kx+m2b2=1.
化簡，得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(Δ>0).
∴ x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=a2k2m2-a2b2k2b2+a2k2+km-2a2kmb2+a2k2+m2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.
因為OM→•ON→=0，所以x1x2+y1y2=0.
代入，得(a2+b2)m2-a2b2(1+k2)=0.
結合(1)的1a2+1b2=1，得m2=1+k2.