初二數學二次根式知識點解析
   一般地,形如√a(a≥0)的代數式叫做二次根式,其中,a 叫做被開方數。今天學習啦小編將與大家分享:初二數學二次根式相關知識點解析。具體內容如下:
二次根式的定義性質和概念
如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的平方根。a可以是具體的數,也可以是含有字母的代數式。
   即:若 ,則x叫做a的平方根,記作x= 。其中a叫被開方數。其中正的平方根被稱為算術平方根。
關于二次根式概念,應注意:
   被開方數可以是數 ,也可以是代數式。被開方數為正或0的,其平方根為實數;被開方數為負的,其平方根為虛數。
二次根式的性質:
1.任何一個正數的平方根有兩個,它們互為相反數。如正數a的算術平方根是 ,則a的另一個平方根為﹣ ;最簡形勢中被開方數不能有分母存在。
2.零的平方根是零,即 ;
3.有理化根式:如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式,那么這兩個代數式互為有理化根式,也稱互為有理化因式。
   4.無理數可用有理數形式表示, 如: 。
二次根式的幾何意義
1、 (a≥0)[任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式;利用此性質在實數范圍內因式分解];
2、 都是非負數;當a≥0時, ;而 中a取值范圍是a≥0, 中取值范圍是全體實數。
3、c= 表示直角三角形內,斜邊等于兩直角邊的平方和的根號,即勾股定理推論;
4、逆用可將根號外的非負因式移到括號內,如
﹙a>0﹚ , ﹙a<0﹚
﹙a≥0﹚ , ﹙a<0﹚
   5、 注意: ,即具有雙重非負性。
算術平方根
正數a的正的平方根和零的平方根統稱為算術平方根,用(a≥0)來表示。
0的算術平方根為0.
開平方運算
求一個非負數的平方根的運算,叫做開平方。開平方與平方互為逆運算。
化簡
化簡二次根式是初中階段考試必考的內容,初中競賽的題目中也常常會考察這一內容。
最簡二次根式
定義概要(❶被開方數不含分母❷被開方數中不含能開得盡的因數或因式)
二次根式化簡一般步驟:
?、侔褞Х謹祷蛐祷杉俜謹?
?、诎验_方數分解成質因數或分解因式;
③把根號內能開得盡方的因式或因數移到根號外;
④化去根號內的分母,或化去分母中的根號;
?、菁s分。
有理化因式
兩個含有二次根式的代數式相乘,如果他們的積不含有二次根式,那么這兩個代數式叫做互為有理化因式
注意﹙①他們必須是成對出現的兩個代數式;②這兩個代數式都含有二次根式;③這兩個代數式的積化簡后不再含有二次根式④一個二次根式可以與幾個二次根式互為有理化因式﹚
分母有理化
在分母含有根號的式子中,把分母的根號化去,叫做分母有理化。
分母有理化即將分母從非有理數轉化為有理數的過程,以下列出分母有理化的幾種方法:
(1)直接利用二次根式的運算法則:
例: ﹙a≥0,b>0﹚
(2)利用平方差公式:
例: ﹙a≥0,b≥0,a≠b﹚[3]
(3)利用因式分解:
例: (此題可運用待定系數法便于分子的分解)
(4)利用約分:
﹙x>0,y>0﹚
﹙x>0,y>0﹚
分子有理化
把分子中的根號化去,叫做分子有理化。
﹙a≥0,b≥0,a≠b﹚
換元法
換元法即把根式中的某一部分用另一個字母代替的方法,是化簡的重要方法之一。
例:在根式 中,令 ,即可得到
原式=
   分析:通過換元法換元,將根號下的數化簡,最后求值。
二次根式運算法則
乘除法
1.積的算數平方根的性質
(a≥0,b≥0)
2. 乘法法則
(a≥0,b≥0)
二次根式的乘法運算法則,用語言敘述為:兩個因式的算術平方根的積,等于這兩個因式積的算術平方根。
3.除法法則 (a≥0,b>0)
   二次根式的除法運算法則,用語言敘述為:兩個數的算術平方根的商,等于這兩個數商的算術平方根。
二次根式的應用
二次根式的應用主要體現在兩個方面:
(1)利用從特殊到一般,再由一般到特殊的重要思想方法,解決一些規律探索性問題;
   (2)利用二次根式解決長度、高度計算問題,根據已知量,求出一些長度或高度,或設計省料的方案,以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算,其實就是化簡求值。
二次根式專項訓練題目
① 設 . 求 的值(用含有n的代數式標識,其中n為正整數).
化簡 .
?、谝阎?, ,求 的值
?、?,其中 ,
?、?/p>
⑤
?、抟阎獂、y滿足 ,且x≠0,求 的值
⑦設 ,xyz>0且 ,試求 的值
